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Los 9 tipos de funciones matemáticas explicadas fácilmente

Los diferentes tipos de funciones matemáticas expresan mediante operaciones matemáticas relaciones de dependencia entre dos o más variables.
Los tipos de funciones matemáticas con ejemplos prácticos. | Imagen de: Pixabay.

 

Las ciencias matemáticas han desarrollado procesos lógicos algebraicos y trascendentes para expresar la dependencia entre dos elementos o conjuntos de elementos. Son las funciones matemáticas. Así, por ejemplo, la duración del viaje de un tren de una ciudad a otra depende de la velocidad: la magnitud duración, aquí, es función de la velocidad.

La primera magnitud (duración) se llama variable dependiente mientras que la segunda (velocidad) es la variable independiente. Sin embargo, dentro de ese esquema simple se diferencian varios tipos de funciones matemáticas.

¿Qué son las funciones matemáticas?

En matemáticas, una función (f) es la relación entre un conjunto de elementos X (dominio) y otro conjunto Y (codominio), de modo que a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del codiminio. Así, la función consta de tres cuerpos: dos conjuntos (X y Y) no vacíos, y una regla que relaciona ambos conjuntos.

El objetivo de una función es descubrir cómo obtener y a través de x. Las funciones se representan mediante el símbolo f(x) y representan la incógnita que debemos descifrar en cada valor que demos a x. De este modo podemos decir que f(x)=x.

9 tipos de funciones matemáticas

Existen varios tipos de funciones matemáticas en función de los elementos que contienen, su forma de relacionarse y la forma cómo las representamos. La clasificación más simple y la que contiene los tipos de funciones más esenciales se divide en funciones algebraicas y funciones trascendentes.

1. Funciones algebraicas

Son aquellas funciones cuya representación es una operación algebraica. En álgebra, un polinomio está constituido por una suma finita de productos entre variables (valores no determinados o desconocidos) y constantes (números fijos o coeficientes). Pues bien, una función algebraica resuelve una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios.

De este modo, una función algebraica es aquella cuya variable y se adquiere combinando un número finito de veces la variable x junto a operaciones de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces.

Según su composición y su expresión distinguimos entre las varios tipos de funciones matemáticas:1

1.1 Función afín

Una función afín es aquella cuya expresión es un polinomio de grado 1 y se representa como f(x)=ax+b y mediante una recta en una gráfica. A a le corresponde la pendiente de la recta e informa de su inclinación, mientras que b representa la variable independiente. Un ejemplo de función afín es la siguiente:

g(x)=3x-2h(x)=2x-7

Para representar una función afín a partir de su expresión algebraica se buscan dos pares ordenados que pertenezcan a la gráfica de la función. Se representan estos puntos en el plano cartesiano y se unen mediante una recta, lo cual nos da la representación gráfica de la función afín.

Una función afín puede ser creciente, cuando a medida que aumenta el valor de la x también aumenta el valor de la y, o decreciente, cuando a medida que aumenta el valor de la x disminuye el valor de la x. Cuando el valor de la y se mantiene inalterable al variar el valor de x, hablamos de función constante.

1.2 Función lineal

Una función lineal también tiene como expresión un polinomio de grado 1 pero, en este caso, no tiene término independiente. Se representa como f(x)=ax y mediante una recta que pasa por el origen de coordenadas. Es decir, una función lineal es aquella en la que la función corresponde a ax siendo a un número cualquiera. Por ejemplo:

g(x)=2x ó h(x)=4x

Para dibujar una función lineal se encuentra la imagen de un valor cualquiera de la variable que no sea cero, se marca el punto que corresponde a ese par ordenado en el plano, se traza la recta que pasa por el punto 0,0 y por el punto anterior. A diferencia de la función afín, esta recta siempre pasa por el origen de coordenadas.

El número que multiplica a la variable se llama razón de proporcionalidad: en g(x)=2x sería 2. Cuando la razón de proporcionalidad es positiva la recta crece con mayor rapidez cuanto mayor es la razón. Si es negativa, desciende con mayor rapidez cuanto menor es la razón. Por eso la razón de proporcionalidad es la pendiente de la recta.

1.3 Función cuadrática

En la función cuadrática se expresa un polinomio de grado 2 con una única variable, y se representa con una parábola cuyos elementos son el eje de simetría, el vértice y las ramas. Así, por ejemplo, una función cuadrática es:

F(x)=3x2+2x-2

Para la representación gráfica de la función cuadrática establecemos una tabla con algunos valores de la función. En primer lugar, debe buscarse el vértice de la gráfica, y a continuación pares de puntos equidistantes del vértice. La precisión depende del número de puntos. También es preciso señalar los puntos de cortes con los ejes.

Si se aumente el término independiente de la función, la parábola se desplaza hacia arriba, y si se cambia de signo el coeficiente de grado 2, se invierten las ramas de la parábola. Si se aumenta dicho coeficiente en valor absoluto, las ramas se cierran.

 

1.4 Función cúbica

También llamada ecuación de tercer grado porque expresa un polinomio de grado 3. En esta función los coeficientes son números racionales en los cuales en la siguiente función dada f(x)=ax3+bx2+cx+d=0 el valor de a es diferente a 0. Es una función cúbica:

Y=f(x)=x3

Para representar una gráfica de una función cúbica se evalúa la función para algunos valores de x. Luego se hace una tabla de valores para la variable x y la variable y, se crea un plano cartesiano y se localizan los puntos uniéndolos para formar la gráfica. Su particularidad es que cortan al eje X en uno, dos o tres según el número de raíces reales, y cortan al eje Y en (0,d) dado que f(0)=d.

1.5 Función racional

Una función racional es la que puede escribirse como cociente de dos polinomios y contiene una variable en el denominador. En una función dada de la p(x) y la q(x) son polinomios, y q(x) es diferente de 0. Así, por ejemplo, tenemos como representación de una función racional:

f(x)=1/x

En una función racional un valor excluido es cualquier valor de x que hace al valor de la función y no definido. Así, estos valores deben ser excluidos de la función. Si cogemos la función y=2/x+3 es -3. Por lo tanto, cuando x=-3 el valor y no está definido. El dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales excepto -3.

En álgebra, una asíntota es una recta que se acerca a la gráfica de la función pero nunca la toca. En la función de ejemplo que hemos dado, los ejes x y y son asíntotas, de modo que la gráfica de la función se acercará sin llegar a tocar las asíntotas.

6. Función radical

Llamadas también funciones irracionales, son aquellas que contienen dentro de su definición un radical, una raíz. Las más sencillas que suelen ponerse de ejemplo son raíces cuadradas con número real distinto a 0 junto a a y b.

Primero hay que determinar el dominio de definición de la función, que por tratarse de una raíz cuadrada serán todos los valores de x que hagan que el radicando sea mayor o igual que cero. Luego hay que mirar si la función es positiva o negativo, lo cual depende del signo de la raíz que hayamos elegido.

Comentando en el punto (-b/a, 0) en la parte positiva o negativa realizaremos un boceto de la función que debe darnos una forma oblicua lateral. Si sumamos un número a la variable x la representación se traslada hacia arriba, si restamos se traslada hacia la izquierda o la derecha, si multiplicamos, se estira o se comprime.

2. Funciones trascendentes

Una función trascendencia es aquello que no satisface una ecuación de polinomios; esto contrasta con las funciones algebraicas. Podemos encontrar, dentro de las funciones trascendentes, las de tipo elemental y las de tipo superior: la diferencia radical en que las de tipo elemental permiten resolverse mediante una cantidad finita de operaciones.

Dentro de estos dos tipos, estas son las funciones trascendentes más relevantes:

2.1 Exponenciales

En matemáticas, el término exponencial hace referencia al tipo de crecimiento cuyo ritmo se incrementa cada vez más rápido. La función exponencial es aquella en la que la variable independiente es un exponente. Por ejemplo:

f(x)=31=3

Las funciones exponenciales, por lo tanto, sirven para analizar contextos en los que un fenómeno crece exponencialmente (pongamos, por ejemplo, la demografía). En la ecuación madre f(x)=axtenemos que la base es a, mientras que x es el exponente. El exponente es la variable independiente que va cambiando con el tiempo.

La ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita aparece como un exponente. Para resolverla basta con igualar la base: se aplican las propiedades de las potencias para lograr que en los dos miembros de la ecuación aparezca una misma base elevada a distintos exponentes.

2.2 Logarítmicas

Las funciones logarítmicas se usan normalmente en operaciones matemáticas, en ciencias naturales o ciencias sociales para comprimir la escala de medidas de magnitudes cuyo crecimiento, de gran aceleración, impide una representación visual o la sistematización del fenómeno representado.

La función logarítmica es inversa a la exponencial, y por lo tanto sus rasgos son contrarios: sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. En el punto x=1 la función se anula, ya que log,1=0 en cualquier base. La función logarítmica de la base es siempre =1, y además es continua: creciente para a>1 y decreciente para a<1.

Cuando en una ecuación la incógnita aparece como base de un logaritmo, se llama ecuación logarítmica. Su método de resolución es el mismo que en las ecuaciones normales. Un ejemplo de ecuación algorítmica sería la siguiente:

loga f(x)=logag(x)

2.3 Trigonométricas

Las funciones trigonométricas extienden la definición de las razones de la trigonometría a los números reales y complejos. Se utilizan, sobretodo, en ciencias como la náutica, la astronomía, la cartografía o la física. Más concretamente, las funciones trigonométricas son el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo.

Existen seis funciones básicas de la trigonometría: las cuatro últimas se corresponden con las dos primeras:

  • Seno: relación entre la longitud de un cateto opuesto y longitud de la hipotenusa.

  • Coseno: relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa.

  • Tangente: relación entre la longitud del cateto opuesto y la adyacente.

  • Contangente: relación entre la longitud de un cateto adyacente y la del opuesto.

  • Secante: relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente.

  • Cosecante: relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto.

Para definir los valores de estas funciones entre 0 y 2π se utiliza una circunferencia unitaria creada en el origen de coordenadas de un plano cartesiano. Se definen las funciones trigonométricas coseno y seno como abscisa (x) y coordenada (y) de un punto P de coordenadas, perteneciente a la circunferencia.

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